СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

лектор к.ф.-м.н. П.С.Рузанкин

9-10 семестры, 1 курс магистратуры, 2 поток
 

1. Цепи Маркова. Определение. Основные свойства.
2. Достаточное условие эргодичности цепи Маркова со счетным числом состояний.
3. Существенные и несущественные состояния. Классы сообщающихся состояний цепи Маркова. Теорема солидарности для периодов состояний.
4. Теорема о том, что неразложимая цепь Маркова имеет стационарное распределение тогда и только тогда, когда все состояния положительно возвратны.
5. Теорема о предельном поведении вероятностей p_{ij}(t) неразложимой непериодичной цепи Маркова.
6. Возвратность состояния цепи Маркова. Теорема солидарности для возвратных состояний цепи Маркова.
7. Возвратность случайного блуждания с задержкой в нуле.
8. Ветвящиеся процессы. Вероятность вырождения.
9. Свойства однородных процессов с независимыми приращениями.
10. Пуассоновский процесс. Непрерывность слева (справа) траекторий пуассоновского процесса. Совместное распределение скачков пуассоновского процесса.
11. Пуассоновский точечный процесс и его свойства.
12. Винеровский процесс. Недифференцируемость его траекторий.
13. Цилиндрическая сигма-алгебра.
14. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации процесса.
15. Непрерывность траекторий винеровского процесса.
16. Закон повторного логарифма.
17. Гауссовские процессы.
18. Функциональная центральная предельная теорема.
19. Критерий непрерывности процесса в L2. Дифференцирование процессов в L2. Интеграл Римана для случайных процессов в L2.
20. Стохастический интеграл от неслучайной функции. Элементарная ортогональная стохастическая мера.
21. Спектральное представление ковариационной функции стационарной
последовательности. Спектральное представление стационарной последовательности.
22. Вполне детерминированная стационарная последовательность.
23. Вполне недетерминированная стационарная последовательность. Общий вид вполне недетерминированных последовательностей. Прогноз вполне недетерминированных последовательностей (метод Винера).
24. Марковские процессы с непрерывным временем. Критерий конечности процесса чистого рождения.
25. Переходные вероятности марковского процесса. Прямая и обратная системы дифференциальных уравнений Колмогорова.
26. Теорема о предельном поведении вероятностей p_{ij}(t) неразложимого марковского процесса.
27. Системы массового обслуживания. Дифференциальные уравнения простейшего потока событий.
28. m-канальная система обслуживания с очередью. Марковское свойство процесса обслуживания. Дифференциальные уравнения m-канальной системы обслуживания. Стационарное распределение состояния m-канальной системы обслуживания.
29. Распределение длительности ожидания обслуживания в стационарном режиме. Поведение системы обслуживания в условиях большой нагрузки.
30. Процессы рождения и гибели.
31. Простейшие нестационарные потоки событий.
32. Стационарный поток без последействия.


Литература

1. А.А.Боровков. Теория вероятностей. 3-е или 4-е издание.
2. Ю.А.Розанов. Случайные процессы. М.:Наука, 1979
3. Б.В.Гнеденко, И.Н.Коваленко. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.