ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Лектор: доцент Н. А. Люлько

5 – 6 семестр

1. Метрические пространства. Полнота. Теорема о пополнении. Критерий полноты метрического пространства. Принцип сжимающих отображений. Теорема Бэра. Компактность. Критерий компактности в метрическом пространстве. Теорема Арцела. ([1], гл. 2; [2], гл. 1; [3], гл. 1).

2. Линейные, нормированные пространства. Гильбертовы пространства. Тождество параллелограмма. Теорема о разложении гильбертова пространства в прямую сумму. Ортонормированные системы. Неравенство Бесселя. Полные ортонормированные системы. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве. ([1], гл. 3; [2], гл. 2; [3], гл. 4; [5], гл. 3).

3. Линейные операторы в нормированных пространствах. Пространство линейных непрерывных операторов; его полнота. Сопряженное пространство. Теорема Хана – Банаха. Общий вид линейных ограниченных функционалов в пространстве непрерывных функций, в гильбертовом пространстве. ([1], гл. 4; [2], гл. 3–4; [3], гл. 5; [5], гл. 4).

4. Теорема Банаха – Штейнгауза. Слабая сходимость, слабая ограниченность в нормированных пространствах. Слабая сходимость в сопряженном пространстве. Рефлексивность нормированных пространств. ([1], гл. 4; [2], гл.4; [3], гл. 8).

5. Обратные операторы. Теорема Неймана. Спектр и резольвента линейного оператора. ([1], гл.4; [3], гл. 13; [5], гл. 3, 6).

6. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом графике. ([1], гл. 4; [2], гл.3).

7. Сопряженные операторы в банаховом пространстве. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Элементы спектральной теории. ([2], гл. 7; [3], гл. 9, [5], гл. 6).

8. Компактные операторы. Основные свойства компактных операторов. Критерий конечномерности нормированного пространства. Альтернатива Фредгольма. Теоремы Фредгольма. Полнота собственных функций самосопряженного вполне непрерывного оператора. ([1], гл. 4, 9; [2], гл.6; [3], гл. 9, 13).

9. Функции ограниченной вариации. Интеграл Римана – Стилтьеса. Мера Лебега – Стилтьеса. Интеграл Лебега – Стилтьеса. ([1], гл. 5–7; [4], гл. 3–4, 8–9).

 

Программа семинарских занятий

5 семестр

1. Счетные множества. Метрические пространства.

2. Открытые, замкнутые множества.

3. Сходимость в метрических пространствах. Полнота, пополнение.

4. Плотность, всюду плотность, сепарабельность метрических пространств.

5–6. Компактность, вполне ограниченность, относительная компактность.

7. Контрольная работа.

8. Нормированные пространства.

9–10. Гильбертовы пространства.

11. Линейные непрерывные функционалы

12. Теорема Хана – Банаха. Следствия из теоремы.

13. Сопряженное пространство. Теоремы Рисса.

14–15. Функции ограниченной вариации. Интеграл Римана – Стилтьеса.

16. Контрольная работа.

6 семестр

1–2. Линейные ограниченные операторы. Норма, сходимость операторов.

3. Обратные операторы.

4–5. Спектр, резольвента линейного оператора.

6. Сопряженные, самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.

7. Контрольная работа.

8. Теорема Банаха – Штейнгауза. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом графике.

9–10. Естественное вложение нормированного пространства во второе сопряженное. Слабая сходимость в нормированных пространствах.

11–12. Компактные операторы.

13. Теоремы Фредгольма. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.

14. Контрольная работа.

Литература

  1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.
  2. Люстерник Л. А.. Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
  3. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
  4. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Гостехиздат, 1957.

    Дополнительная литература
     

  5. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
  6. Треногин В. А., Писаревский Е. М., Соболева Т. С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984.
  7. Ляпидевский В. Ю., Люлько Н. А., Максимова О. Д. Функциональный анализ. (Теоремы и задачи) /Учебное пособие /Новосиб. гос. ун-т. Новосбирск, 1998.