ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Лектор: профессор Т.И. Зеленяк

5-6 семестры

1. Метрические пространства. Примеры. Полнота некоторых пространств. Сепарабельность. Теория о вложенных шарах. Теорема о полнении метрического пространства. Принцип сжатых отображений. Теорема Бэра. Примеры.

2. Линейные нормированные пространства. Примеры. Пространства Соболева. Теорема вложения. Пространства Гильберта, примеры.

3. Линейные операторы в Банаховых пространствах. Теорема Банаха- Штейнгауза. Теорема Банаха об обратном операторе. Линейные функционалы. Пространства линейных операторов. Примеры. Общий вид линейных функционалов в некоторых пространствах. Теорема Рисса об общем виде функционалов в Н. Пространства Банаха с базисом. Сопряженные пространства, рефлексивность. Слабая сходимость. Сопряженные операторы. Теорема Хана-Банаха. Примеры.

4. Компактность. Критерии компактности, примеры. Вполне непрерывные операторы. Теория Фредгольма в Гильбертовом пространстве. Формулировка теорем Фредгольма для случая Банахова пространства, конечномерный случай. Присоединенные собственные элементы. Примеры.

5. Ограниченные самосопряженные операторы. Проекционные операторы. Введение в спектральную теорию операторов. Квадратный корень из положительного оператора. Спектральное разложение самосопряженного оператора (ограниченного). Примеры.

Программа семинарских занятий

5 семестр

1. Счетные множества.
2-3.Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества.
3-4.Полнота. Пополнение.
5. Плотность, всюду плотность, сепаребельность.
6-7. Компактность. Вполне ограниченность. Относительная компакность.
8. Контрольная работа.
9. Мера и интеграл Лебега-Стилтьеса.
10-11. Нормированные пространства. Линейные функционалы.
12. Сопряженные пространства.
13. Следствия теоремы Хана-Банаха.
14-15. Гильбертовы пространства.
16. Контрольная работа.

6 семестр

1-2. Линейные ограниченные операторы. Норма. Сходимость в L(x,y).
3. Обратные операторы.
4-5. Спектр.
6. Сопряженные, самосопряженные операторы.
7. Контрольная работа.
8. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема о замкнутом графике.
9-10. Слабая сходимость. Слабые свойства.
11-12. Компактные операторы.
13. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Спектр интегрального опретора.
14. Контрольная работа.

Литература

1. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.
2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. т V.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.
4. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа.
5. Треногин В.А., Писаревский Е.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу.
6. Лапидевский В.Ю., Люлько Н.А., Максимова О.Д. Функциональный анализ.