УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Лектор: профессор Д. Л. Ткачев

5 – 6 семестры

Некоторые уравнения и системы математической физики. Вывод уравнения малых поперечных колебаний струны. Понятие о начальных данных и краевых условиях. Вывод системы уравнений гидродинамики, уравнения теплопроводности, стационарный случай. ([4], л.1; [1], гл.1, § 2.)

Системы дифференциальных уравнений и их характеристические поверхности. Общий вид линейных и квазилинейных систем дифференциальных уравнений. Характеристический полином, характеристическое направление, уравнение конуса характеристических нормалей, определение характеристической поверхности системы. Системы уравнений первого порядка. Симметрические t–гиперболические системы. Система уравнений акустики. Одномерная система уравнений газодинамики. ([2], гл.1, § 6; гл. 2, § 9.)

Классификация и приведение к каноническому виду линейных уравнений второго порядка. Общий вид линейного уравнения второго порядка, уравнения конуса характеристических нормалей и характеристик. Тип уравнения в точке и области, канонический вид уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные уравнения в случае двух независимых переменных. Приведение к каноническому виду. ([4], л. 3.)

Задачи для волнового уравнения. Формула общего решения одномерного уравнения, ее графическая интерпретация. Формула Даламбера. Принцип Дюамеля. Задача в квадранте с простейшим краевым условием. Использование формулы Даламбера для решения смешанной задачи. Задача Коши для трехмерного волнового уравнения при t=0.Вывод формулы Кирхгофа с использованием понятия сферического среднего. Принцип Гюйгенса. Вывод формулы Пуассона методом спуска Адамара. Принцип Дюамеля, запаздывающий потенциал. Сферические, цилиндрические и плоские волны. Теорема единственности решения смешанной задачи. ([4], л. 4, л. 14.)

Интегралы энергии для решений волнового уравнения. Конические характеристические поверхности многомерного волнового уравнения. Лемма об энергетической оценке. Единственность решения задачи Коши. Принцип конечной зависимости решений от начальных условий. Закон сохранения энергии. ([5], § 17; [2], гл. 2, § 18.)

Понятие о корректных и некорректных задачах математической физики. Примеры и определение корректных задач. Некорректность задачи Коши для волнового уравнения с данными на плоскости = 0. Пример Адамара для системы Коши – Римана. Теорема Коши – Ковалевской. ([4], л. 2, л. 22; [2], гл. 1, § 6.)

Задача Коши для уравнения теплопроводности. Постановка задачи Коши. Инвариантность множества решений уравнения теплопроводности относительно специальных преобразований плоскости. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона. Принцип максимума. Единственность решения задачи Коши в классе ограниченных функций. Принцип Дюамеля. ([4], л. 8; [2], гл. 1, §§ 3–4; [3], гл. 1, § 1.)

Метод Фурье для уравнений второго порядка. Постановка смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка. Схема метода Фурье. Свободные колебания прямоугольной мембраны. Свободные колебания круглой мембраны. ([4], лл. 23, 27–28.)

Решения уравнений Лапласа И Пуассона. Гармонические функции, фундаментальное решение уравнения Лапласа. Формулы Грина. Лемма об интегральном представлении произвольной гладкой функции суммой потенциалов. Определение ньютоновского потенциала, потенциалов простого и двойного слоев. Простейшие свойства гармонических функций. Теорема о среднем. Принцип максимума. Постановки основных краевых задач для уравнения Лапласа. Единственность решения задачи Дирихле. ([4], лл. 9–13; [2], гл. 3, § 20.)

Функция Грина задачи Дирихле. Определение функции Грина задачи Дирихле, теорема об интегральном представлении гладкого решения через функцию Грина. Построение функции Грина для шара методом изображений. Внутренняя задача Дирихле для шара. Интеграл Пуассона. ([4], л. 21.)

Свойства гармонических функций. Лемма о гармоничности функции, удовлетворяющей теореме о среднем. Первая теорема Гарнака. Неравенства Гарнака. Вторая теорема Гарнака. Теорема Лиувилля. Внешняя задача Дирихле для шара. Лемма о поведении гармонической функции на бесконечности. Теоремы единственности решения внутренней и внешней задач Неймана. ([2], гл. 3,§ 20.)

Уравнение Лапласа в ортогональных криволинейных координатах. Преобразование оператора Лапласа при переходе к криволинейным координатам. Определение и свойства многомерных сферических координат. Уравнение Лапласа в сферических координатах. ([4], л.28.)

Сферические функции в многомерном пространстве. Решения задачи на собственные значения для угловой части оператора Лапласа. Ортогональность сферических гармоник разного порядка. След шарового многочлена на единичной сфере. Теорема о представлении Гаусса. Полнота в L2(S) последовательности сферических функций, соответствующих шаровым многочленам. Теорема о последовательности собственных чисел угловой части оператора Лапласа. Сферические гармоники в трехмерном пространстве. Базис в пространстве сферических гармоник данного порядка. Теорема об ограниченных решениях уравнения Лежандра. Присоединенные функции Лежандра. ([4], лл. 29–30; [6], гл. 2, § 10.)

Уравнение Шредингера для движения частицы в центрально–симметричном и кулоновском полях. Приложение сферических гармоник к трехмерному стационарному уравнению Шредингера с центрально – симметричным потенциалом. Разделение переменных в уравнении Шредингера в сферических координатах. Допустимые значения энергии, волновые функции. Полиномиальные множители в формуле для радиальной части. Полиномы Лагерра. ([6], гл. 2, § 5; гл. 5, § 26.)

Оператор обобщенного дифференцирования. Пространства Lp(Q), Lloc(Q), C (Q), C0 (Q). Регулярная обобщенная производная данного порядка от локально суммируемой функции. Лемма дю Буа – Реймонда. Функция, имеющая обобщенную производную, но не дифференцируемая в обычном смысле. Свойства оператора обобщенного дифференцирования. Слабая замкнутость оператора обобщенного дифференцирования. ([5], гл.1; [3], гл.3.)

Операция усреднения. Ядра усреднения. Средняя функция, ее свойства. Теорема о сходимости средних функций к исходной в равномерной норме. Теорема о невозрастании нормы в Lp(Q) при усреднении. Сходимость средних к исходной функции по норме Lp(Q). Лемма о перестановочности операторов обобщенного дифференцирования и взятия средней функции. ([5], гл. 1; [3], гл. 3.)

Пространства Соболева. Определение и свойства пространства Соболева Wp(m)(Q). Эквивалентные нормировки. Теорема о продолжимости через гладкую границу с сохранением класса. Теорема о плотности бесконечно–дифференцируемых функций в пространстве Соболева. След функции из пространства Соболева на гладкой границе области. ([5], гл. 1; [3], гл. 3.)

Вариационный подход к решению задачи Дирихле. Множество допустимых функций, заданных на границе области. Постановка обобщенной задачи Дирихле. Интеграл Дирихле, теорема о минимизирующей последовательности. Единственность решения вариационной задачи. Теорема о гармоничности решения вариационной задачи. Единственность решения обобщенной задачи Дирихле. Принцип Дирихле. Пример Адамара недопустимой функции. ([5], гл. 2; [2], гл. 3, § 21.)

Понятие обобщенного решения задачи Коши. Незамкнутость по равномерной норме множества гладких решений уравнения ut+u= 0. Обобщенное решение как предел по равномерно–квадратичной норме последовательности гладких решений. Лемма о сходимости. Определение С.Л. Соболева обобщенного решения задачи Коши. Его корректность. Теорема существования и единственности обобщенного решения задачи Коши с начальными данными из L2(A,B). ([2], гл. 1, § 10.)

Обобщенные функции. Пространство распределений на финитных бесконечно дифференцируемых функциях. Пространство обобщенных функций медленного роста. Преобразование Фурье обобщенных функций. ([1], гл. 3, §§ 5–9.)

Обобщенные решения задач математической физики. Обобщенные решения дифференциальных уравнений. Фундаментальные решения дифференциальных операторов. ([1], гл. 3, § 11.)

    Литература

  1. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

  2. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.

  3. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

  4. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1992.

  5. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

  6. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984.

  7. Рекомендуемые темы семинарских занятий и упражнений к ним

    5 семестр

1. Уравнения с частными производными первого порядка, задача Коши. Уравнение Гамильтона – Якоби. (2–3 занятия, [4], гл. 2, § 6.)

2. Классификация уравнений и систем, характеристические поверхности (1 занятие). Приведение к каноническому виду уравнений и систем. Общее решение. (3 занятия, [1], § 1; [2], гл. 1, § 2.)

3. Одномерное волновое уравнение, задача Коши, формула Даламбера, принцип Дюамеля, задачи в квадранте (1 занятие). Многомерное волновое уравнение, его характеристики, задача Коши, формулы Кирхгофа и Пуассона, принцип Дюамеля. (1 занятие, [2], гл. 4, § 12, п. 2; гл. 6, § 21.)

4. Задача Коши на плоскости для уравнений гиперболического типа. Метод Римана. (2 занятия, [2], гл. 4, § 12, п. 1.)

5. Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов. Решение методом Фурье. (3 занятия, [2], гл. 6, § 20.)

6. Уравнение теплопроводности, задача Коши, формула Пуассона, принцип Дюамеля. (1 занятие, [2], гл. 4, § 13; [1], § 7.)

7. Корректность задач математической физики. Пример Адамара. (1 занятие, [1], § 7, №№ 137–144.)

6 семестр

8. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Метод разделения переменных (квадрат, круг, кольцо) (1 занятие). Уравнение Лапласа в ортогональных криволинейных координатах, коэффициенты Ламе. Уравнение Лапласа в сферических координатах, сферические гармоники. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. (2 занятия, [2], гл. 5, § 16.)

9. Функция Грина. Метод изображений. (1 занятие, [2], гл. 5, § 17; [1], § 6.)

10. Свойства гармонических функций (формула Пуассона, теорема о среднем, неравенство Гарнака). (1 занятие, [1], § 6.)

11. Смешанная задача для гиперболических систем с двумя переменными: постановка, приходящие и уходящие характеристики, соответствующие им римановы инварианты, интеграл энергии, диссипативные краевые условия, априорные оценки. (3 занятия) Области единственности для гиперболических систем. (1 занятие, [1], §§ 2–4.)

12. Функциональные пространства (классы Lp(Ω), Lloc(Ω), C (Ω), C0 (Ω)). Регулярная обобщенная производная функции из Lloc(Ω). Пространство Соболева Wp(m)(Ω) (1 занятие). Ядра усреднения, свойства оператора усреднения в Lp(Ω), решение одномерных линейных дифференциальных уравнений в классах Wp(m) [a,b] (1 занятие). Одномерные теоремы вложения, операторы продолжения в классах Wp(m). След функции из Wp(m) (1 занятие, [2], гл. 2, § 4, п. 3; [1], § 9).

13. Пространства обобщенных функций D' , S' , действия с обобщенными функциями (2 занятия). Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами (2 занятия, [2], гл. 3, § 6–9, § 11).

    Литература

  1. Годунов С. К., Золотарева Е. В. Сборник задач по уравнениям математической физики /Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 1987.

  2. Владимиров В. С., Михайлов В. П. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1974.

  3. Бицадзе А. В., Калиниченко Д. Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. М.: Наука, 1985.

  4. Белов В. В., Воробьев Е. М. Сборник задач по дополнительным главам математической физики. М.: Наука, 1978.