МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ: ТВЕРДОЕ ТЕЛО (ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ)

Лектор: профессор В. Д. Бондарь

6 семестр

1. Введение. Предмет теории упругости и её место в механике сплошных сред. Область применения.

2. Деформированное состояние материала. Материальные (лагранжевы) и пространственные (эйлеровы) системы координат. Уравнения движения. Удлинения, сдвиги и повороты. Векторы перемещения, скорости, ускорения и поворота. Тензор конечных деформаций. Механический смысл его компонентов. Представление деформаций через перемещения. Тензоры малых деформаций и поворотов. Деформация окрестности частицы. Главные оси, главные деформации и инварианты деформации. Относительное изменение объёма. Определение перемещений и поворотов по деформации. Условия совместности Сен-Венана.

3. Напряженное состояние материала. Плотность и масса тела. Уравнение неразрывности. Массовые (объёмные) и поверхностные силы. Вектор напряжения и его основное свойство. Нормальное и касательное напряжения. Тензор напряжений Коши  Эйлера, механический смысл его компонентов. Главные оси, главные напряжения и инварианты напряжений. Динамические уравнения движения в эйлеровых переменных. Симметрия тензора Коши  Эйлера.

4. Модель линейно-упругого тела. Тензоры напряжения Лагранжа и Кирхгофа, их связь с тензором Коши  Эйлера. Случай малых деформаций. Динамические уравнения движения в лагранжевых переменных. Закон Гука. Замкнутая система уравнений линейной теории упругости. Уравнения в перемещениях и в напряжениях. Начально-краевые задачи.

5. Общие теоремы и принципы. Теорема Клапейрона. Единственность решения краевых задач. Упругий потенциал. Теорема о кинетической энергии. Уравнение притока тепла. Обобщенный закон Гука. Теорема взаимности Бетти. Вариационные принципы.

6. Динамические задачи. Распространение волн в неограниченной упругой среде. Продольные и поперечные волны. Скорости волн. Поверхностные волны Релея.

7. Одномерная задача. Полуобратный метод Сен-Венана. Растяжение стержня силой. Изгиб и кручение стержня моментом сил.

8. Плоская задача. Плоская деформация. Плоское напряженное состояние. Общие соотношения в декартовых координатах. Плоская задача в комплексных переменных. Представления перемещений, деформаций и напряжений через комплексные потенциалы. Исследование потенциалов. Приведение основных задач упругости к краевым задачам для комплексных потенциалов.

Методы решения плоской задачи. Метод рядов. Всестороннее растяжение плоскости с круговым отверстием. Метод конформных отображений. Преобразование основных формул и задач. Метод функциональных уравнений. Приведение задач к интегральным уравнениям Фредгольма. Теорема существования решения. Решение задач с помощью интегралов типа Коши. Растяжение плоскости с эллиптическим отверстием.

9. Трёхмерная задача. Построение частных решений. Формулы Папковича. Сосредоточенная сила в неограниченной среде. Полая сфера под действием внутреннего и внешнего давлений.

Нелинейная теория упругости. Геометрическая и физическая нелинейности. Термоупругость. Упругость неоднородных и анизотропных сред.

Литература

  1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л: ОНТИ, 1935.
  2. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958.
  3. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973. Т. 2.
  4. Демидов С. П. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1979.
  5. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.
  6. Бондарь В. Д. Элементы плоской задачи линейной теории упругости /Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 1989.