МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Лекторы: член-корр. РАН А. Н. Коновалов(5 сем.), А. М. Мацокин (6 сем.)

(есть   Конспект семинарских занятий профессора Мацокина А.М. (zip файл - 128Kb),
 + 12 лекций 6 семестра (zip файл - 1Mb)) +  экзаменационные билеты (52 Kb))

5 - 6 семестры

Основы теории разностных схем

1. Краткие сведения об уравнениях математической физики. Уравнения в частных производных второго порядка. Ортогональные преобразования. Классификация уравнений. Разделение переменных. Корректность задачи Коши. Связь между уравнениями различных типов. Треугольник влияния. Принцип максимума.

2. Предварительные сведения о разностных схемах. Простейшие разностные схемы для уравнения движения. Сеточный шаблон. Погрешность аппроксимации. Сеточный принцип максимума. Оценка ошибки. Условие Куранта. Пример нарушения условия Куранта. Простейшие разностные схемы для уравнения теплопроводности. Явная схема. Неявная схема. Векторно-матричная запись разностных схем.

3. Основные понятия теории разностных схем. Сетка. Сеточная область. Сеточная функция. Пространства сеточных функций. Нормы пространств и . Оператор проектирования на сетку. Понятие ph-согласованности норм. Лемма о согласованности. Сеточные теоремы вложения. Сеточные операторы. Матричная запись сеточных операторов. Аппроксимация. Сходимость. Устойчивость. Теорема об эквивалентности различных определений устойчивости. Теорема сходимости. Пространство . Сеточное неравенство Фридрихса. Сеточная задача Коши. Двухслойные схемы. Разрешимость неявной схемы. Оператор шага. Первая каноническая форма разностной схемы. Безусловная и условная аппроксимация и сходимость. Безусловная (абсолютная) и условная устойчивость в терминах оператора шага. Теоремы о необходимых и достаточных условиях устойчивости.

4. Устойчивость двухслойных разностных схем. Представление сеточных функций и операторов в эвклидовом пространстве. Достаточное условие устойчивости в эвклидовом пространстве. Теорема о необходимом условии устойчивости (спектральный признак). Критерий устойчивости в случае представления оператора шага в виде нормальной матрицы. Теорема об абсолютной устойчивости схемы с весами. Теорема об условной устойчивости схемы с весами. Устойчивость в D-норме. Теория устойчивости А.А. Самарского. Вторая каноническая форма разностной схемы. Определения устойчивости, устойчивости по начальным данным, устойчивости по правой части. Теорема о связи устойчивости по начальным данным и по правой части при согласовании норм. Критерий устойчивости по начальным данным. Примеры.

5. Экономичные разностные схемы. Затраты на реализацию явной и неявной схем. Понятие экономичной схемы. Схема переменных направлений. Анализ устойчивости в коммутативном случае. Анализ устойчивости в некоммутативном случае. Аппроксимация в схеме переменных направлений. Схема покомпонентного расщепления (локально-одномерная схема). Анализ устойчивости. Понятие аддитивной схемы с суммарной аппроксимацией. Анализ сходимости схемы покомпонентного расщепления.

6. Численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Линейные многошаговые методы. Согласованность, аппроксимация, сходимость. D-устойчивость. Теорема о представлении общего решения. Теорема о необходимом условии сходимости. Теорема о достаточном условии сходимости. Одношаговые методы. Регулярность. Теорема сходимости. Схемы Рунге-Кутта. Теорема о согласованности схем Рунге-Кутта. Абсолютная устойчивость. Теоремы об области абсолютной устойчивости явных методов. Понятие A-устойчивости. Критерий A-устойчивости линейных многошаговых методов.

Метод конечных элементов (МКЭ)

1. Задачи в энергетических пространствах. Некоторые сведения о гильбертовых пространствах. Энергетическое пространство положительно определенного оператора. Задача о поиске обобщенного решения, как задача о представлении линейного функционала в энергетическом пространстве. Теорема Лакса-Мильграма. Функционал энергии и задача об его минимуме. Теорема о функционале энергии. Обобщенные производные и пространства Соболева. Формулировки теорем вложения, об эквивалентных нормах и ее следствия (неравенства Пуанкаре и Фридрихса). Полнота пространств и . Теоремы о нормах пространств и . Операторы эллиптических краевых задач. Теоремы об энергетических пространствах операторов задачи Дирихле, задачи Неймана и вырожденной задачи Неймана. Главные и естественные краевые условия.

2. Задачи на последовательности подпространств. Задача в подпространстве. Основная лемма (о проекции на подпространство). Предельно плотные последовательности конечномерных подпространств. Метод Галеркина. Теорема об однозначной разрешимости задачи в подпространстве. Метод Ритца. Построение минимизирующей последовательности. Устойчивость по правой части. Вычислительная устойчивость, как ограниченность числа обусловленности матрицы масс. Устойчивое семейство базисов. D-устойчивое семейство базисов.

3. МКЭ в одномерном случае. Гладкость решения двухточечной краевой задачи. Задача с только обобщенным решением. Пространство кусочно-линейных функций. Устойчивость семейства кусочно-линейных базисов. Кусочно-линейный интерполянт. Теорема о погрешности кусочно-линейного интерполирования. Теорема сходимости МКЭ для гладких решений. Формулировка теоремы о погрешности в L2-норме. Оптимальность оценок. Теорема о погрешности в сеточной норме. Теорема о сходимости МКЭ для только обобщенных решений. Пример для дельта-функции. Пространство кусочно-квадратичных функций. Теорема о погрешности кусочно-квадратичного интерполирования. Неоднородные краевые условия.

4. Основные понятия МКЭ. Симплициальное разбиение области. Регулярность и квазиравномерность. Лемма о количестве симплексов, содержащих фиксированный сеточный узел. Канонический симплекс. Теорема об аффинной эквивалентности. Линейные функционалы в пространствах полиномов. Определение конечного элемента. Лагранжев конечный элемент. Локальный базис симплекса. Построение элементов глобального базиса. Теорема о непрерывности и квадратичной суммируемости первых обобщенных производных элементов глобального базиса. Свойства базисных функций. Эквивалентные нормы в пространстве сеточных функций. Теорема об эквивалентной L2-норме при условии регулярности и квазиравномерности. Следствие об устойчивости семейства базисов. Теорема об эквивалентной L2-норме в отсутствие регулярности и квазиравномерности. Следствие о Dh-устойчивости семейства базисов. Обратное неравенство. Построение сеточных уравнений. Локальные матрица жесткости и вектор нагрузок. Ассамблирование (поэлементная и поузловая сборки).

5. Основы общей теории сходимости. Теорема о погрешности кусочно-линейного интерполирования. Теорема сходимости в H1-норме. Прием Обэна-Нитше и теорема сходимости в L2-норме. Сеточная теорема вложения Image163.gif (959 bytes)в. Равномерная сходимость.

Литература

  1. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.
  2. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.
  3. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.
  4. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.
  5. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.
  6. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.