ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Лектор: профессор В.В. Асеев

4-5 семестры

Комплексные числа, операции над ними и их изображение на плоскости. Топология комплексной плоскости. Сфера Римана и стереографическая проекция. Компактность. Предел и непрерывность функции комплексного переменного. Жордановы кривые на плоскости. Гладкие кривые и лемма о стандартном радиусе (без доказательства). Предел последовательности. Числовые ряды с комплексными членами. Функциональные ряды, абсолютная и равномерная сходимость. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Формула Коши-Адамара. Экспонента и показательная форма записи комплексных чисел. Производная по комплексному переменному. Необходимые и достаточные условия комплексной дифференцируемости в точке. Понятие аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной аналитической функции. Обращение аналитических функций, области однолистности. Понятие конформного отображения. Конформность отображения, осуществляемого однолистной аналитической функцией. Непрерывные ветви многозначных функций. Выделение ветвей функции Arg(Z). Целые степенные функции. Элементарное понятие о римановой поверхности и точках ветвления. Римановы поверхности комплексного логарифма и корня натуральной степени. Функция Жуковского и ее обращение. Линейные и дробно-линейные отображения. Групповые свойства. Геометрические свойства дробно-линейных отображений: круговое свойство, принцип симметрии, инвариантность ангармонического отношения четверки точек.

Комплексный криволинейный интеграл и его основные свойства. Теорема Коши для односвязной и многосвязной области, лемма о треугольнике, лемма о треугольнике, лемма Гурса и доказательство теоремы Коши. Интегральная формула Коши. Теорема о среднем. Понятие интеграла типа Коши (комплексного потенциала), ядро Коши. Аналитичность комплексного потенциала и существование производных всех порядков. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Интегральная формула Коши для производных аналитической функции. Принцип максимума модуля аналитической функции. Теоремы Вейерштрасса о рядах и последовательностях аналитических функций. Первообразная, существование первообразной у аналитической функции в односвязной области. Теорема Морера. Формула Ньютона-Лейбница. Интегральные формулы Шварца и Пуассона. Сингулярный интеграл в смысле главного значения по Коши, теорема существования. Граничные значения комплексного потенциала (интеграла типа Коши), формулы Сохоцкого-Племеля, формула скачка. Теорема Привалова о гельдеровости граничных значений интеграла типа Коши (без доказательства).

Разложение аналитической функции в ряд Тейлора. Внутренние теоремы единственности. Нули аналитической функции, порядок нуля. Неравенства Коши и теорема Лиувилля. Разложение аналитической функции в кольце (теорема Лорана). Изолированные особые точки аналитической функции, лорановское разложение в изолированной особой точке. Классификация изолированных особых точек. Порядок полюса. Связь между нулями и полюсами. Существенно особые точки, теорема Пикира (без доказательства). Разложение в бесконечно удаленной изолированной особой точке. Понятие целой и мероморфной функции. Теорема Миттаг-Лефлера. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. Основная теорема о вычетах. Вычисление вычета в полюсах. Вычет в бесконечно удаленной точке. Вычисление некоторых контурных интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана. Логарифмический вычет и принцип аргумента. Теорема Руше, ее применение к доказательству основной теоремы алгебры. Основное свойство производной однолистной аналитической функции. Интегральная формула Коши для области, содержащей бесконечно удаленную точку. Условие продолжения непрерывной функции с границы области до аналитической функции во всей области. Разложение в ряд простейших дродей мероморфных функций на примере функций 1/sin2(Z) и ctg(z). Аналитическое продолжение. Понятие общей и полной аналитической функции. Теорема монодромии. Основные теоремы геометрической теории функций: принцип непрерывности, принцип симметрии Римана-Шварца, лемма Шварца, принцип компактности, теорема Вейерштрасса для последовательности однолистных аналитических функций. Аналитическое продолжение через аналитическую кривую (теорема Шварца). Граничная теорема единственности. Теорема Римана о конформных отображениях. Теоремы о соответствии границ при конформных отображениях областей.

Гармонические функции их связь с аналитическими функциями. Восстановление аналитической функции по ее действительной части. Основные свойства гармонических функций: теорема о среднем, принцип экстремума, теоремы сходимости. Понятие об основных краевых задачах теории функций. Задача Дирихле, существование и единственность решения. Решение задачи Дирихле в круге с помощью формулы Пуассона. Функция Грина, выражение решения задачи Дирихле в произвольной жордановой области через ее функцию Грина. Задача Неймана ее решение для случая единичного круга (формула Дини). Сведение задачи Неймана к задаче Дирихле. Кусочно-аналитические функции и решение задачи о скачке. Однородная и неоднородная задача сопряжения, задача Римана-Гильберта (обзор результатов).

Литература

  1. Билута П.А. Лекции по теории функций комплексного переменного. Изд-во НГУ, Новосибирск, 1991.
  2. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
  3. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. М.: Наука, 1972.
  4. Волковыский Л.И., Лунц Г.А., Араманович И.Г. Сборник по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1970.
  5. Дополнительная литература

  6. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977.
  7. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1969.
  8. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973.
  9. Евграфов М.А. Аналитические функции. М.: Наука, 1965.
  10. Тичмарш Е. Теория функций. М.: Наука, 1980.
  11. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1966.
  12. Коппенфельс В., Штальман Ц. Практика конформных отображений. М.: ИЛ, 1963.
  13. Спрингер Г. Введение в теорию римановых поверхностей. М.: ИЛ, 1963.
  14. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
  15. Методические пособия

  16. Билута П.А. Многозначные функции. Новосибирск: НГУ, 1988.
  17. Пятков С.Г. Теория функций комплексного переменного. Части 1,2. Новосибирск: НГУ, 1997.