ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Лектор: профессор В.П. Голубятников.

4 семестр

Теория кривых и поверхностей в евклидовом пространстве

  1. Теория кривых. Кривизна, кручение, формулы Френе.
  2. Параметризованные поверхности в R3 .
  3. Первая квадратичная форма поверхности, длина кривой, углы между кривыми, площади областей на поверхности.
  4. Гладкие отображения поверхностей и их дифференциалы. Диффеоморфизмы поверхностей, критерии изометричности.
  5. Нормальные сечения поверхностей и их кривизны, вторая квадратичная форма поверхности.
  6. Теорема Менье, кривизна произвольной кривой на поверхности в R3.
  7. Формула Эйлера. Главные кривизны, главные и асимптотические направления. Гауссова и средняя кривизны поверхности.
  8. Сферическое отображение поверхностей, третья квадратичная форма поверхности.
  9. Конгруэнтность поверхностей, у которых совпадают первая и вторая квадратичные формы.
  10. Средняя кривизна мыльных пленок.

Внутренняя геометрия поверхностей

  1. Деривационные формулы. Символы Кристоффеля.
  2. Теорема Гаусса egregium.
  3. Параллельный перенос векторов на поверхности и его свойства. Абсолютное дифференцирование.
  4. Геодезическая кривизна кривой на поверхности.
  5. Элементы вариационного исчисления. Уравнение Эйлера-Лагранжа.
  6. Геодезическая линия как линия нулевой геодезической кривизны.
  7. Геодезическая линия как линия, вдоль которой поле единичных касательных векторов параллельно.
  8. Геодезическая линия как экстремаль функционала длины.
  9. Теорема о повороте параллельного векторного поля при обходе замкнутого контура на поверхности.
  10. Теорема Гаусса-Бонне.
  11. Эйлерова характеристика поверхности.
  12. Теорема Хивуда о раскраске.