ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Лектор: профессор А. М. Блохин

3 - 4 семестры

1. Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами. Единственность и существование решений у однородных уравнений. Пространство решений системы с постоянными коэффициентами и одного уравнения произвольного порядка. Фундаментальная система решений и определитель ее матрицы. Фундаментальная матрица и матричная экспонента. Вычисление матричной экспоненты для некоторых специальных матриц. Каноническое представление матричной экспоненты. Фундаментальные системы решений одного линейного уравнения с постоянными коэффициентами.

2. Система неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Теорема о непрерывной зависимости решений от параметра.

3. Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами. Априорная оценка решений. Существование и единственность решения задачи Коши. Основные свойства решений. Уравнение произвольного порядка с переменными коэффициентами.

4. Существование и единственность решений не обязательно линейных систем дифференциальных уравнений с достаточно гладкими правыми частями. Лемма Адамара. Обсуждение утверждений локальной теоремы существования. Достаточные условия для существования решения в целом.

5. Непрерывная и дифференцируемая зависимость решений от параметра. Примеры на теорему о дифференцируемости решений по параметру.

6. Определение устойчивости и асимптотической устойчивости. Устойчивость и неустойчивость нулевого решения линейной системы в зависимости от расположения собственных значений. Матричное уравнение Ляпунова. Функции Ляпунова. Критерии устойчивости и неустойчивости.

7. Первые интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных первого порядка. Представление общего решения линейного однородного уравнения с частными производными. Квазилинейные уравнения с частными производными. Уравнения Гамильтона–Якоби. Условие интегрируемости уравнений    .

8. Краевые задачи для линейных систем уравнений первого порядка. Матрица Грина. Собственные значения. Ограниченные решения линейных неоднородных систем с постоянными коэффициентами. Краевые условия, удовлетворяющие условию Лопатинского. Линейное уравнение 2-го порядка.

Литература

  1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961.

  2. Годунов С. К. Матричная экспонента, матрица Грина и условие Лопатинского /Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 1983.

  3. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

  4. Годунов С. К. Квадратичные функции Ляпунова /Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 1982.

  5. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1973.

  6. Годунов С. К. и др. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям /Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 1986.

  7. Блохин А. М. Равномерная ограниченность матричной экспоненты. Методические указания к курсу «Обыкновенных дифференциальных уравнений» /Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 1986.

  8. Блохин А. М. Элементы теории гиперболических систем и уравнений /Учебное пособие /Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 1995.