1. Классика: Вместо множества N возьмем множество Q. Каждому x из R сопоставим множество элементов некоторой сходящейся к x последовательности из Q.
 

2. Сергей Подзоров: Вместо N возьмем множество A конечных подмножеств множества N. Каждому подмножеству B из N сопоставим множество всех пересечений B со всеми отрезками [1,n].
 

3. MinHerz:  Каждому действительному числу x из R сопоставим множество натуральных чисел вида
                                                                      2^n*3^[nx].
 

4. Андрей Васильев: Каждой последовательности a_i из нулей и единиц сопоставим множество
                                  П p_i^a_i   (  i  \in [0,k],  k \in N ) 
 

5. Андрей Васильев & bolbot: Каждой последовательности a_i из нулей и единиц сопоставим множество частичных сумм расходящегося ряда

 a_1*2 + a_2*4 + a_3*8 + ...+ a_n*2^n + ...

ЗЫ. Последнее появилось из попыток вспомнить решение Васильева. Он вспомнил про бесконечную двоичную последовательность, а я вспомнил, что эта мысль у меня мелькала тоже - вот и реализовал. Потом осознал, что по сути это классика - надо лишь в этом ряду положительные показатели двойки заменить на отрицательные, а циклы из нулей (или, наоборот, из единиц) для однозначности исключить.