МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 2009 г.
ДЛЯ ВУЗОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.


1. Для полинома f(x) с целыми коэффициентами в двух различных точках выполняется равенство f(2x)=x.
Могут ли эти точки быть обе целыми?

2. В выпуклом  n-угольнике проведены все возможные диагонали, при этом никакие 3 диагонали не пересекаются в одной точке.
Сколько всего точек пересечения диагоналей?

3. Найти функцию, удовлетворяющая тождеству  2f(x)+f\Big(\frac{x}{x-1}\Big)=3x \   при всех x\ne 1.

4. Исследовать сходимость последовательности  x_n=\sqrt n+\sqrt{n-1}-\Big(1+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\ \dots\ + \frac{1}{\sqrt n}\Big).

5. Найти наименьшее натуральное число  m, чтобы в любом  m-элементном множестве натуральных чисел, не превосходящих числа  2009,
можно было выбрать два числа, одно из которых делится на другое.


МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 2009 г.
ДЛЯ ВУЗОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.


1. Доказать, что \tg 1^\circ - \ иррациональное число.

2. Каждое из 2009 натуральных чисел, расположенных по кругу, является наибольшим общим делителем
или наименьшим общим кратным двух своих ближайших соседей.
Могут ли все эти числа быть различными?
Могут ли 2008 из них быть различными?

3. Существует ли полином f(x) с целыми коэффициентами, для которого выполнялись бы равенства f(5)=17, \  f(17)=47 ?

4. Пусть A,\ B\ и C\ - \ три последовательные вершины правильного 2n-угольника и x_n \ - отношение проекции AB
к проекции BC на наибольшую диагональ, содержащую точку A. Найти \lim\limits_{n\to\infty} x_n.

5. Железнодорожный путь и шоссе пересекаются под прямым углом и оба прямолинейны. Пропуская депутатский лимузин,
на железнодорожном пути остановился поезд длиной 640 метров, так что локомотив находился на расстоянии 8 метров от шоссе.
На каком расстоянии от железнодорожного переезда депутат мог видеть поезд под наибольшим углом?