28 сентября, воскресенье

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
ПО МАТЕМАТИКЕ НГУ

Для участия в Олимпиаде приглашаются
студенты 1-3 курсов всех факультетов НГУ.

Победителям призы и сертификаты качества.

По результатам отборочного тура будет составлена
сборная команда НГУ для участия
в 26-ой Открытой Олимпиаде по математике
высшей школы г. Новосибирска
(26 октября).

Начало Олимпиады в 9-00.
Ауд. им. Мальцева
 

Результаты  Олимпиады

Задачи Олимпиады

1. Пусть $f(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2) \dots (z-\lambda_n)$ и\\
$f'(z)=n(z-\mu_1)(z-\mu_2) \dots (z-\mu_{n-1})$ --- разложения многочлена и его производной над полем комплексных чисел, причём $\lambda_1,\ \dots\ , \lambda_n \ $ попарно различны.
Доказать, что $$\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^{n-1} \frac{1}{\lambda_i-\mu_j}=0.$$

2. Найти все возможные образы множества $A=\mathbb Q\times \mathbb R\cup \mathbb R\times \mathbb Q$ при непрерывных отображениях $f: \mathbb R\times \mathbb R\longrightarrow \mathbb R.$

3. Вершины треугольной пирамиды имеют рациональные координаты в прямоугольной системе координат. Доказать, что координаты центра сферы, описанной вокруг пирамиды, тоже рациональны.

4. Исследовать сходимость интеграла $\int\limits_0^\infty\frac{\sin x}{x+|\sin x|} dx$

5. Найти наименьшее $n$, для которого в любом $n-$значном числе в десятичной системе счисления можно выбрать $k\geqslant 1$ подряд идущих цифр, произведение которых будет квадратом целого числа.