30 сентября, воскресенье

СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА
ПО МАТЕМАТИКЕ НГУ

Для участия в Олимпиаде приглашаются
студенты 1-3 курсов всех факультетов НГУ.

Победителям призы и сертификаты качества.

По результатам отборочного тура будет составлена
сборная команда НГУ для участия
в 25-ой Открытой Олимпиаде по математике
высшей школы г. Новосибирска
(28 октября).

Начало Олимпиады в 9-00.
Ауд. им. Мальцева
 

Во вторник, 2 октября в 19-20 в ауд. 313 - разбор задач и организационное собрание по подготовке команды для второго тура олимпиады.

Награждение победителей первого тура и формирование сборной НГУ на второй тур -  12.10.2007 в 18:00 (пятница) в деканате ММФ.
Второй тур -  28 октября (воскресенье).
В личном зачете второго тура принимают участие все члены сборной команды, а также могут участвовать все участники первого тура, набравшие в нем не менее 10 баллов.

Результаты  Олимпиады

Задачи Олимпиады

1) Сколько точек с целыми координатами и с расстояниями, кратными 7 до начала координат, расположены в круге $x^2+y^2 \le 111^2$?

2) Найти все действительные корни уравнения $x=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+2}}}}}$

3) Пусть $a$ и $b$ - положительные числа, $n$ - натуральное. Доказать, что

$(n+1)(a^{n+1}+b^{n+1})\geq (a+b)(a^{n}+a^{n-1}b+ \dots +b^{n})$

4) Пусть функция $f$ - монотонно возрастающая в нестрогом смысле на отрезке $[0,1]$ функция. Доказать, что $$\int_0^1 f(x)dx \le 2\int_0^1 xf(x)dx $$

5) Последовательность $x_n$ задана рекуррентной формулой: $x_1 = a, \ \ x_{n+1}= \frac{100}{n}+\sin x_n$

Доказать, или опровергнуть, что она сходится при любом $a\in \mathbb{R}.$