Задачи Олимпиады

1 уровень
(для вузов с профилирующей подготовкой по математике)

1. Из пункта А в пункт В, расположенный от А на расстоянии 100 м строго на северо-восток
по плоской поверхности, с постоянной по величине скоростью 5 м/час
бежала черепаха. У черепахи был компас, так что огибая препятствия,
встречавшиеся на ее пути, она следила, чтобы ее курс не выходил за
пределы между курсом на север и курсом на восток. Оценить
время движения черепахи от пункта А до пункта В.

2. Вычислить предел последовательности


3. Изменяя за один шаг на единицу ровно один из коэффициентов
уравнения за несколько шагов можно преобразовать
уравнение в .
Возможно ли при этом, чтобы ни одно из промежуточных уравнений не имело целых решений?

4. Найти все функции, определенные на множестве действительных чисел, удовлетворяющие тождеству:


5. Пусть и произвольные функции, определенные на отрезке .
Доказать, что   для некоторых
 

 

2 уровень
(для вузов с непрофилирующей подготовкой по математике)

1. Пусть f(x) = x(x-1)(x-2) ...  (x-2006). Найти f ' (2006)

2. Вычислить предел последовательности xn = 1/(1*3) + 1/(3* 5) + ... + 1/((2n-1)(2n+1))

3. Две стороны квадрата лежат на прямых 5x-12y=65 и 5x-12y=26. Найти площадь этого квадрата.

4. Найти все функции, определенные на множестве действительных чисел, удовлетворяющие тождеству:
2f(x)+xf(5-x)=2+x.

5. Минутная и часовая стрелки будильника имеют длины 5  см и 4 см соответственно. Определить расстояние между концами стрелок в тот момент времени, когда это расстояние растет быстрее всего.