ЗАДАЧИ ОТБОРОЧНОГО ТУРА МЕЖВУЗОВСКОЙ СТУДЕНЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ ПО МАТЕМАТИКЕ - 2005 (ОЛИМПИАДА СТУДЕНТОВ НГУ)


1. Укажите все числа последовательности 1, 11, 111, 1111, ... , каждое из которых является квадратом целого числа.
2. Пусть A и B - квадратные матрицы одного порядка. Доказать, что матрицы AB-E и BA-E либо обе вырождены, либо обе невырождены.
3. Около заданного треугольника описан эллипс наименьшей площади. Доказать, что касательные к этому эллипсу в вершинах треугольника параллельны противолежащим сторонам.
4. Найти все действительные значения m, для которых функция xm sin(x) может оказаться решением дифференциального уравнения y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 на интервале (0 , 3) с непрерывными на отрезке [0 , 3] коэффициентами p(x) и q(x).
5. Сбежавшая из зоопарка черепаха ползёт по дороге с постоянной скоростью, меньшей чем постоянная скорость, с которой курсирует неутомимый курьер О'Хилл между пунктами А и В на этой дороге. О'Хилл видел объявление администрации зоопарка с просьбой развернуть её на 180 градусов при встрече и готов выполнять эту просьбу при каждой встрече с черепахой. Это ему ничего не стоит - зацепил ногой и дальше побежал, ритм движения при этом не нарушается. Описать движение черепахи в случае её попадания на участок АВ.