Задачи Олимпиады

1 уровень
(для вузов с профилирующей подготовкой по математике)

1. Пусть функция f непрерывна на R и значение интеграла этой функции на отрезке [a, a+1] не зависит от выбора a из R.
Доказать, что функция f периодична.

2. На плоскости даны четыре точки. Среди всех расстояний между ними выберем наименьшее расстояние m и наибольшее расстояние M. Доказать, что M sqrt(2)m.

3. Пусть x - четырёхзначное число в десятичной записи. Вася Пупкин написал его цифры в обратном порядке и полученное число вычел из x. В результате он получил число 1818. Найти все такие числа x или доказать, что Вася ошибся.

4. Однажды ночью на кольцевой дороге вокруг Солнечного Города злые волшебники расставили ворота, пройдя через которые любой коротышка теряет в своём росте определённую для каждых из ворот величину, а если его рост не превышает этой величины, то совсем исчезает. Эти ворота обнаружили добрые волшебники и расставили на дороге анти-ворота с противоположным действием. Суммарное действие ворот и анти-ворот равно нулю. Доказать, что существует место на дороге, стартуя с которого любой коротышка может обойти всё кольцо и не исчезнуть.

5. Пусть функция f равномерно непрерывна на R. Доказать, что для подходящих констант a и b для всех x из R выполняется неравенство |f(x)| < a|x| + b.

 

2 уровень
(для вузов с непрофилирующей подготовкой по математике)

1. Найти сумму коэффициентов многочлена (x6+x+1)2005+(x5+x-1)2005 при четных степенях x.

2. Найти все треугольники ABC, обладающие свойством: cos A + cos B = sin C .

3. Точка в пространстве движется так, что каждая из трёх её координат, как функция времени t, является многочленом степени не выше двух. Доказать, что точка движется в некоторой плоскости.

4. Пусть x - четырёхзначное число в десятичной записи. Вася Пупкин написал его цифры в обратном порядке и полученное число вычел из x. В результате получил число 8181. Найти все такие числа x или доказать, что Вася ошибся.

5. Проинтегрировать функцию arcsin (sin x) на отрезке [0, 3].

 

Решения (from Bolbot A.D.)