Решения задач 1 уровня

1. Пусть F - первообразная для f, она очевидно существует. Тогда по условию имеем F(x+1) - F(x) = const. Продифференцировав это тожество, получаем f(x+1) - f(x) = 0.

2. Покажем, что существуют три точки, вершины которого образуют неостроугольный треугольник. В том числе он может быть вырожденным, то есть эти три точки лежат на одной прямой.
В самом деле, если найдутся три точки, образующие остротреугольник, а четвертая лежит внутри него, то хотя бы один из трёх треугольников, полученных соединением этой точки с вершинами остротреугольника, будет искомым. Если же четвёртая вершина лежит вне остротреугольника, то 4 точки образуют выпуклый 4-угольник. Все углы 4-угольника острыми быть не могут, отсюда искомый треугольник получим, если возьмём неострый его угол и противолежащую диагональ.
Для треугольника АВС с неострым углом В имеем:
M*M >= b*b = a*a + c*c + a*c*(-cosB) >= a*a + c*c >= 2*m*m.

3. Записав искомое число в виде 1000a + 100b + 10c + d, выполнив действие Васи и сократив на 9, получим:
111(a - d) + 10(b - c) = 202
Это то же самое, что
(*) 111(a - d - 2) + 10(b - c + 2) = 0.
Так как 111=3*37, то b - c +2 делится на 37. Но b и c слишком малы, чтобы выражение b - c +2 могло дотянуться до 37, поэтому b - c +2 = 0. Но тогда из равенства (*) следует, что и a - d - 2 = 0.
Необходимые, таким образом, равенства
a = d + 2, d = 0,1,2,3,4,5,6,7
c = b + 2, b = 0,1,2,3,4,5,6,7
являются и достаточными.
Итого, имеем 64 возможных числа.
PS. Вася, разумеется, мог ошибиться, но доказать это мы не можем.

4. Начав с произвольных ворот занумеруем их действия в порядке их следования в одном из двух направлений: X1, X2, ... , Xn.
По условию X1 + X2 + ... + Xn = 0. Пусть X1 + X2 + ... + Xm - наименьшая из всех сумм для 1 =< m <= n.
Случай m=n тривиален, поэтому рассматриваем только m < n. Если 0 < s <= m, то
(Xm+1 + Xm+2 + ... + Xn ) + (X1 + X2 + ... + Xs) >= (Xm+1 + Xm+2 + ... + Xn) + (X1 + X2 + ... + Xm) = X1 + X2 + ... + Xn = 0.
Если же m<s<=n, то
Xm+1 + Xm+2 + ... + Xs = (X1 + X2 + ... + Xs ) - (X1 + X2 + ... + Xm) >= 0.
Таким образом, любой коротышка может пройти кольцо, начав с ворот с номером m+1.
PS. - коротышка может начать с первых ворот.

5. Для эпсилон=1 найдётся d такое, что |x-x'| < d => |f(x)-f(x')| < 1.
Выберем натуральное n так, чтобы выполнялись неравенства:
(n - 1)d =< |x| < nd.
Для h=x/n имеем:
|f(x) - f(0)| = |f(nh) - f((n-1)h) + f((n-1)h) - f((n-2)h) + ... + f(2h) - f(h) + f(h) - f(0)| =<
|f(nh) - f((n-1)h)| + |f((n-1)h) - f((n-2)h)| + ... + |f(2h) - f(h)| + |f(h) - f(0)| =< n.
Таким образом, |f(x) - f(0)| < n. Отсюда |f(x)| < n + |f(0)|. Из неравенства (n - 1)d =< |x| теперь получаем:
|f(x)| < n + |f(0)| =< |x|/d + 1 + |f(0)|. Искомые константы: a = 1/d, b = 1 + |f(0)|.

 



Решения задач 2 уровня

1. Пусть f(x) - данный многочлен. Тогда f(1) = A + B и f(-1) = A - B, где А - сумма коэффициентов при чётных степенях х, а В - при нечётных. Складывая, получаем 2А = f(1) + f(-1). Последняя сумма вычисляется непосредственно. Ответ: А = 1.

2. Так как А + В + С = П, то по формулам приведения имеем cosA + cosB = sin (A+B) или, что то же самое
cosA + cosB = sinB cosA + sinA cosB. Если оба угла А и В не прямые, то их синусы меньше 1 (а косинусы ненулевые), и получаем противоречие:
cosA + cosB = sinB cosA + sinA cosB < cosA + cosB.
Таким образом треугольник с необходимостью прямоугольный с прямым углом А или В. Наоборот, в любом треугольнике с прямым углом А или В данное в условии равенство очевидно выполняется.


3. Если r - радиус-вектор точки на кривой, то по условию он записывается в виде r=a+bt+ct2. Таким образом, r принадлежит множеству точек вида a + b*u + c*v. Если b и c неколлинеарные, то последнее множество - это плоскость проходящая через точку а параллельно векторам b и c. В случае коллинеарности b и с это множество - прямая, если b=c=0, то вообще наша точка покоится в точке а.

4. Записав искомое число в виде 1000a + 100b + 10c + d, выполнив действие Васи и сократив на 9, получим:
(*) 111(a - d) + 10(b - c) = 909.
Так как 10(b - c) имеет 0 своей последней цифрой, то a - d = 9. Тогда из равенства (*) получаем b - с = - 9. Теперь ясно, что a = 9, d = 0, b = 0, c = 9, то есть искомое число х = 9090.

5. По определению арксинуса имеем
arcsin (sin x) = х при 0 =< x =< П/2,
arcsin (sin x) = П - х при П/2 < x =< П
Теперь искомый интеграл легко вычисляется как разность площадей двух треугольников или как сумма площадей треугольника и трапеции.