МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 2003 года

ЗАДАЧИ ДЛЯ ВУЗОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

1. Пусть периодическая с периодом 2T функция f определена и непрерывна на  R. Доказать, что f(x)=f(x+T) для некоторого x[0,T).

2. Между пунктами A и B расстояние 60 км. Литерный поезд трогается из пункта A и через час останавливается в пункте B доставив ценный хрупкий груз, не выдерживающий даже кратковременных больших ускорений. Найти нижнюю оценку этого ускорения.

3. Найти все целые положительные решения уравнения 2x - 1 = yz.

4. Пусть an - сходящаяся последовательность. Может ли последовательность n(an+1-an) быть бесконечно большой?

5. Определить все значения параметра aR, для которых существует бесконечное подмножество множества рациональных чисел, на котором функция
 
принимает рациональные значения.
 

 

ЗАДАЧИ ДЛЯ ВУЗОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

1. Сколько целых решений имеет уравнение 2003x2 - y(x-1) = 1 ?

2. Между пунктами A и B расстояние 80 км. Поезд трогается из пункта A и через час останавливается в пункте B. Доказать, что в некоторый момент времени его ускорение (или замедление) не меньше чем 320 км/час2.

3. Для нечетного n возьмем последовательность a1, a2, a3,...,an целых чисел. Переставив их произвольным образом, получим последовательность b1, b2, b3,...,bn . Доказать, что среди чисел ai + bi найдется хотя бы одно четное.

4. При каких значениях параметра a уравнение (arcsin x)3 + (arccos x)3 = a имеет единственное решение?

5. Пусть xn - возрастающая последовательность всех положительных корней уравнения tg x = x. Найти lim n→∞ (xn+1 - xn).