СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА НГУ ПО МАТЕМАТИКЕ 2003 г.
(Отборочный тур НГУ региональной математической олимпиады)

1. Пусть p(x) - полином с целыми коэффициентами и  p(a)=b,  p(b)=c,  p(c)=a  для некоторых целых a, b, c. Доказать, что уравнение p(x)=x имеет целое решение.

2. Найти все целые решения уравнения 1/x + 1/y = 1/z.

3. Пусть А - конечное множество действительных чисел. Определить мощность множества определенных на заданном отрезке и непрерывных на нем функций, принимающих на множестве рациональных чисел значения из множества A.

4. Пусть an - бесконечная последовательность различных натуральных чисел. Может ли сходиться ряд  Σn=2,∞ an / n2 ln(n)   ?

5. Бой подушками на бревне проводится на вылет. Всем участникам присваиваются номера. Очередность боев устанавливается по возрастанию номеров - первый бьется со вторым, победитель с третьим, победитель этой пары с четвертым и т.д. В другой день эти же бойцы решили повторить матч по тем же правилам, но очередность боев установили по убыванию номеров. Доказать, что найдется пара бойцов, встречавшаяся друг против друга на бревне дважды.