МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 2002 года

ЗАДАЧИ ДЛЯ ВУЗОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

1. Доказать, что совместная вещественная система линейных уравнений имеет единственное решение, принадлежащее линейной оболочке строк матрицы этой системы.
2. Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение x2 + y2 = 1280 ?
3. Доказать, что среди любых 2002 векторов пространства R2000 найдутся два вектора, образующие не тупой угол.
4. Существует ли непрерывная на некотором промежутке функция, принимающая в рациональных точках этого промежутка иррациональные значения, а в иррациональных - рациональные ?
5. Вычислить интеграл  .

ЗАДАЧИ ДЛЯ ВУЗОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

1. Найти число действительных корней многочлена .
2. Внутри треугольника A1A2A3 произвольно выбрана точка O.
Доказать, что S12a3 + S23a1 + S31a20, где  ai = OAi и Sij - площадь треугольника OAiAj.
3. Пусть f(x) - многочлен и f(xn) делится на x-1. Доказать, что  f(xn) делится на xn -1.
4. Любые 50 из 96 акционеров владеют не менее 25% стоимости компании. Какова максимальная доля может принадлежать директору компании?
5. Вычислить интеграл  .