МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 2000 г.

I. ЗАДАЧИ ДЛЯ ВУЗОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.

1. Найти все непрерывные на числовой прямой функции, которые переводят любое открытое множество в замкнутое.

2. Открытое выпуклое множество точек плоскости, границей которого является множество точек параболы назовем внутренностью этой параболы. Доказать, что внутренность параболы определена однозначно и определить, можно ли всю плоскость покрыть внутренностями конечного числа парабол.

3. Пусть P - однородный полином от m переменных и . Доказать, что любое ненулевое полиномиальное решение уравнения Du = 0 не делится на полином P.

 4. На отрезке [0, 1] выбираются равновероятно и независимо друг от друга три числа a, b и c. Какова вероятность того, что матрица окажется подобной вещественной диагональной матрице?

 5. Последовательность целых чисел Fn определяется рекуррентным соотношением Fn = -Fn-1 - 2Fn-2 , F0 = 0 , F1 = 1. Доказать, что 2n+1 - 7F2n-1 - квадрат целого числа.

II. ЗАДАЧИ ДЛЯ ВУЗОВ НЕМАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ.

1. Задано целое число n>1. Описать на плоскости множество точек (a,b) , для которых кривая xn+yn=1 касается прямой ax+by=1 . 

2. Найти все квадратные матрицы, ранг которых можно увеличить ровно на 2 , дописав к ней последовательно еще одну строку и один столбец.

3. Можно ли всю плоскость покрыть углами, если сумма их величин меньше ?

4. Непрерывная функция f(x) на отрезке [- c, c ] удовлетворяет соотношению:  af(x) - bf(-x)=c, где a и b - различные вещественные числа, c > 0. Вычислить интеграл .

5. На отрезке [ - 1,1 ] выбираются равновероятно и независимо друг от три числа  a, b и c. Какова вероятность того, что матрица  окажется подобной вещественной диагональной матрице?