15 СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 1997 г.
             2 УРОВЕНЬ  (для вузов не математического профиля)

1.   Найти все дифференцируемые функции f(x) >= 1,
     удовлетворяющие уравнению 

                 2 
          f(x)  u         x
           |   e   du  =  | u/f(u) du  ,  x в R .
           1              0

2.   Рассмотрим четырехмерный единичный куб

                           4
     { (x , x , x , x ) в R :  0 =< x =< 1 }.
     Доказать, что сечение куба гиперплоскостью x + x + x + x = 1
     является трехмерным многогранником. 
     Найти длины ребер этого многогранника и нарисовать его.

 3. Установить взаимнооднозначное соответствие между точками открытого
    и замкнутого кругов радиуса 1.

 4. Доказать, что для всех натуральных чисел m и n справедливо неравенство
     
                        1/n             1/m
                (1 + m )    >=    (1 + n )

     и при этом знак равенства достигается тогда и только тогда,
     когда m=n=1.

5.   Найти многочлен P(x) третьей степени с целочисленными
     коэффициентами такой, что

             1            1  3          1  5
             | xP(x) dx = | x P(x) dx = | x P(x) dx = 0 . 
             0            0             0