15 СТУДЕНЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 1997 г.
          I УРОВЕНЬ (для вузов математического профиля)

1.   В пространстве задана шестерка векторов a,b,c,x,y,z.
     Доказать тождество:

                        | (a,x)  (a,y)  (a,z) |
     (a,b,c)(x,y,z)=    | (b,x)  (b,y)  (b,z) |
                        | (c,x)  (c,y)  (c,z) |

     где (,,) - смешанное, а (,) - скалярное произведение векторов. 

2.   Установить взаимнооднозначное соответствие между точками
     открытого и замкнутого шаров радиуса 1.

3.   Доказать, что для любого натурального n справедливо
     неравенство
                2                       2 
               n / 2  < v(n)s(n) < n ,

     где v(n) число натуральных чисел,
     меньших n и взаимно простых с n (функция Эйлера),
     а s(n) сумма натуральных делителей числа n.

 4. Матрицы A и B размерностей 3*2 и 2*3, соответственно, таковы,
    что (8 2 2) * A * B = (2 5 4).
    Доказать, что B*A = 9 0
                        0 9

 5. Доказать, что все решения уравнения
      4 y''+ t / (1 + t ) y = 0 равномерно ограничены на R.