МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 1999 г.

I. Задачи для ВУЗов математического профиля.

  1. Доказать, что    для всех
  2. Показать, что среди любых 12 различных вещественных чисел найдутся по крайней мере два числа x и y, удовлетворяющие неравенствам
  3. .

  4. Пусть матрицы X1 и X2 удовлетворяют уравнению X2 + AX + B = 0 с постоянными матрицами A, B и матрица X1 - X2 - не вырождена. Доказать следующие формулы Виета:
  5. trX1 + trX2 = - trA и det X1 det X2 = det B.

  6. Функция   удовлетворяет следующему уравнению  .  Найти  ,  где -  n-ая итерация функции f.
  7. Функция Лобачевского, определенная равенством   ,   используется для вычисления объемов в трехмерном пространстве Лобачевского. Известно, что  определена на всей числовой прямой, нечетна и имеет период  . Доказать, что для всех целых n    и  вещественных x
  8. .

 

II.  Задачи для ВУЗов нематематического профиля.

  1. Доказать, что     для всех 

  2. Показать, что среди любых 13 различных вещественных чисел найдутся по крайней мере два числа  x  и y,  удовлетворяющие неравенствам

  3. Доказать тождество  ,  где    -  векторное, а  - смешанное произведение векторов в трехмерном евклидовом пространстве.
  4. Пусть    и  x > 0.    Доказать, что    и   .
  5. Функция Лобачевского, определенная равенством , используется для вычисления объемов в трехмерном пространстве Лобачевского. Доказать, что для всех  вещественных x справедливы утверждения:
  6. a)  ,    b) ,    c)  = 0,507...

    и построить график функции  .