МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 1998 г.

Задачи для вузов математического профиля

1. Найти все дважды дифференцируемые на числовой прямой решения уравнения

2. Среди всех четырехмерных прямоугольных параллелепипедов с заданной суммой V объемов трехмерных граней найти параллелепипед наибольшего объема. Чему равен его объем ?

3. Пусть A, B - вещественные ортогональные матрицы одного порядка и det A + det B = 0. Доказать, что det(A + B) = 0.

4. Доказать, что для любого неотрицательного целого n найдется полином fn(x) с целыми неотрицательными коэффициентами, для которого имеет место тождество

при всех x > -1/2.

5. Для любого натурального числа x строим последовательность xn, полагая x0=x; xn+1=3xn+1, если xn - нечетное и xn+1= xn/2, если xn - четное.

Доказать, что для любого натурального k существует натуральное число x, для которого последовательность xn содержит не менее k нечетных чисел, отличных от 1.
[Верно или нет, что всякая такая последовательность содержит число 1 - нерешенная проблема.]


МЕЖВУЗОВСКАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ 1998 г.

Задачи для вузов нематематического профиля

 

1. Для любого натурального n положим

.

Показать, что при n > 2 справедливо равенство

.

Вывести отсюда неравенства

.

2. Доказать, что среди всех треугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник.

3. Пусть , где . Найдите .

4. Найдите все дифференцируемые функции, удовлетворяющие уравнению

5. Для любого натурального числа x строим последовательность xn, полагая x0=x; xn+1=3xn+1, если xn - нечетное и xn+1= xn/2, если xn - четное.
Доказать, что существует бесконечно много нечетных натуральных чисел x, для которых в последовательности xn встретится число 1.
[Верно это или нет для всех натуральных чисел - нерешенная проблема.]