next up previous
Next: About this document ...

ВСТУПИТЕЛЬНЫЙ ЭКЗАМЕН В МАГИСТРАТУРУ (июль 1999 г.)


1.Что можно сказать о дифференцируемости функции

\begin{displaymath}
f(x,y) = \biggl((x-1)^4 + (y+1)^4\biggr)^{1/4}
\end{displaymath}

в точке $(1,-1)$?Ответ обосновать.
2.При каких значениях $t$жорданова форма матрицы

\begin{displaymath}
A = \left( \begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0\\
t+1 & t^2-2 & 0\\
t & t-2 & t^2-2
\end{array}\right).
\end{displaymath}

является жордановой клеткой?
3.Из некоторой точки $M$,лежащей на "внешнем" эллипсоиде $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{5} = 25$,проводятся всевозможные касательные к "внутреннему" эллипсоиду $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{3} + \frac{z^2}{5} = 16$.Обозначим множество точек касания через$P$,а множество точек пересечения касательных с "внешним" эллипсоидом через$Q$.Доказать, что $P$, $Q$ -- эллипсы, лежащие в параллельных плоскостях. Найти отношение площадей.
4.Вычислить интеграл

\begin{displaymath}
\int\int\limits_{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! S} x^2 dy\,dz + z^2 dx\,dy,
\end{displaymath}

где$S$ --внешняя сторона части сферы$x^2+y^2+z^2=4$, $x \ge 0$, $z \le 0$.
5.Используя теорему о вычетах, вычислить интеграл

\begin{displaymath}
\int\limits^\infty_0 \frac{\cos x}{x^4+1} dx.
\end{displaymath}


6.Указать условия на матрицу $M$, при которых краевая задача

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{d}{dt}y = \left( \begin{ar...
...ge 0} (e^{-4t}\Vert y(t)\Vert) < \infty
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

однозначно разрешима.




2000-06-15