next up previous
Next: About this document ...

ЭКЗАМЕН В МАГИСТРАТУРУ 21.07.98

Вариант 1.1.


1.При каких вещественных$a$уравнение

\begin{displaymath}
3x^4+4x^3-12x^2+a=0
\end{displaymath}

имеет четыре различных вещественных корня?
2.Найти $\lim\limits_{n \to \infty} A^n$,если

\begin{displaymath}
A = \frac{1}{4}
\left( \begin{array}{ccc}
1&2&3\\ 0&2&9\\ 1&0&0
\end{array}\right).
\end{displaymath}


3.На линии пересечения однополостного гиперболоида $15x^2+4y^2=1+9z^2$и плоскости$z=-t$ $(t>0)$выбирается некоторая точка$P=P_0$.Точка$P$двигается по одной из прямолинейных образующих до точки$P_1$,лежащей в плоскости$z=t$,затем она двигается по другой прямолинейной образующей до точки$P_2$в плоскости$z=-t$,и так далее.а) При каких$t$точка$P$за конечное число шагов вернется в исходное положение?б) Найти площадь треугольника, который заметает проекция радиус-вектора $OP$на плоскости$OXY$при движении точки$P$от точки$P_0$до точки $P_1$.
Вариант 1.2.


4.Исследовать суммируемость функции

\begin{displaymath}
\frac{\sin(x^2+y^4)}{x^2+y^2}
\end{displaymath}

на множестве $\{x^2+y^2\ge 1, \ y^2 \le x\}$.
5.Найти главную часть разложения в ряд Лорана в окрестности точки$z=0$функции

\begin{displaymath}
f(z) = \frac{1}{z^2(\sin z + 3)}
\end{displaymath}

и указать наибольшую область вида $\{0 < \vert z\vert < R\}$, в которой этот ряд сходится.
6.Найти все гладкие функции$a(t)$такие, что уравнение

\begin{displaymath}
y''+a(t)y'+y=0
\end{displaymath}

имеет два решения$y_1(t)$,$y_2(t)$,удовлетворяющие условию $y_2(t) - ty_1(t)=0$.

Вариант 2.1.


1.При каких вещественных$a$уравнение

\begin{displaymath}
3x^4-4x^3-36x^2+a=0
\end{displaymath}

имеет четыре различных вещественных корня?
2.Найти $\lim\limits_{n \to \infty} A^n$,если

\begin{displaymath}
A = \frac{1}{5}
\left( \begin{array}{ccc}
1&3&3\\ 0&2&17\\ 1&0&0
\end{array}\right).
\end{displaymath}


3.На линии пересечения однополостного гиперболоида $x^2+25y^2=1+3z^2$и плоскости$z=-h$ $(h>0)$выбирается некоторая точка$Q=Q_0$.Точка$Q$двигается по одной из прямолинейных образующих до точки$Q_1$,лежащей в плоскости$z=0$,затем она двигается по другой прямолинейной образующей до точки$Q_2$в плоскости$z=-h$,и так далее.а) При каких$h$точка$Q$за конечное число шагов вернется в исходное положение?б) Найти площадь треугольника, который заметает проекция радиус-вектора $OQ$на плоскости$OXY$при движении точки$Q$от точки$Q_0$до точки$Q_1$.
Вариант 2.2.


4.Исследовать суммируемость функции

\begin{displaymath}
\frac{\sin(1/(x^4+y^2))}{x^2+y^2}
\end{displaymath}

на множестве $\{x^2+y^2\le 1, \ \vert y\vert \le x^2\}$.
5.Найти главную часть разложения в ряд Лорана в окрестности точки$z=1$функции

\begin{displaymath}
f(z) = \frac{1}{(z-1)^2(\cos(z-1) + 2)}
\end{displaymath}

и указать наибольшую область вида $\{0 < \vert z-1\vert < R\}$, в которой этот ряд сходится.
6.Найти все гладкие функции$b(t)$такие, что уравнение

\begin{displaymath}
y''+(b(t)-3)y'+b(t)y=0
\end{displaymath}

имеет два решения$y_1(t)$,$y_2(t)$,удовлетворяющие условию $y_1(t)y_2(t)=1$.

Вариант 3.1.


1.При каких вещественных$a$уравнение

\begin{displaymath}
3x^4-4x^3-12x^2+a=0
\end{displaymath}

имеет четыре различных вещественных корня?
2.Найти $\lim\limits_{n \to \infty} A^n$,если

\begin{displaymath}
A = \frac{1}{4}
\left( \begin{array}{ccc}
1&3&3\\ 0&2&6\\ 1&0&0
\end{array}\right).
\end{displaymath}


3.На линии пересечения однополостного гиперболоида $5y^2+4z^2=1+9x^2$и плоскости$x=-p$ $(p>0)$выбирается некоторая точка$P=P_0$.Точка$P$двигается по одной из прямолинейных образующих до точки$P_1$,лежащей в плоскости$x=p$,затем она двигается по другой прямолинейной образующей до точки$P_2$в плоскости$x=-p$,и так далее.а) При каких$p$точка$P$за конечное число шагов вернется в исходное положение?б) Найти площадь треугольника, который заметает проекция радиус-вектора $OP$на плоскости$OYZ$при движении точки$P$от точки$P_0$до точки$P_1$.
Вариант 3.2.


4.Исследовать суммируемость функции

\begin{displaymath}
\frac{\cos(x^4+y^2)}{x^2+y^2}
\end{displaymath}

на множестве $\{x^2+y^2\ge 1, \ x^2 \le y\}$.
5. Найти главную часть разложения в ряд Лорана в окрестности точки$z=1$функции

\begin{displaymath}
f(z) = \frac{1}{(z-1)^2({\rm tg}\,(z-1) + 2i)}
\end{displaymath}

и указать наибольшую область вида $\{0 < \vert z-1\vert < R\}$, в которой этот ряд сходится.
6. Найти все гладкие функции$a(t)$такие, что уравнение

\begin{displaymath}
y''+a(t)y'-a(t)y=0
\end{displaymath}

имеет два решения$y_1(t)$,$y_2(t)$,удовлетворяющие условию $y_2(t) - ty_1(t)=0$.

Вариант 4.1.


1.При каких вещественных$a$уравнение

\begin{displaymath}
3x^4+4x^3-36x^2+a=0
\end{displaymath}

имеет четыре различных вещественных корня?
2. Найти $\lim\limits_{n \to \infty} A^n$,если

\begin{displaymath}
A = \frac{1}{5}
\left( \begin{array}{ccc}
1&4&2\\ 0&3&9\\ 1&0&0
\end{array}\right).
\end{displaymath}


3.На линии пересечения однополостного гиперболоида $3z^2+5x^2=1+7y^2$и плоскости$y=-q$ $(q>0)$выбирается некоторая точка$Q=Q_0$.Точка$Q$двигается по одной из прямолинейных образующих до точки$Q_1$,лежащей в плоскости$y=0$,затем она двигается по другой прямолинейной образующей до точки$Q_2$в плоскости$y=-q$,и так далее.а) При каких$q$точка$Q$за конечное число шагов вернется в исходное положение?б) Найти площадь треугольника, который заметает проекция радиус-вектора $OQ$на плоскости$OXZ$при движении точки$Q$от точки$Q_0$до точки$Q_1$.
Вариант 4.2.


4.Исследовать суммируемость функции

\begin{displaymath}
\frac{\cos(1/(x^2+y^4))}{x^2+y^2}
\end{displaymath}

на множестве $\{x^2+y^2\le 1, \ \vert x\vert \le y^2\}$.
5.Найти главную часть разложения в ряд Лорана в окрестности точки$z=0$функции

\begin{displaymath}
f(z) = \frac{1}{z^2({\rm tg}\,z - 4i)}
\end{displaymath}

и указать наибольшую область вида $\{0 < \vert z\vert < R\}$, в которой этот ряд сходится.
6.Найти все гладкие функции$b(t)$такие, что уравнение

\begin{displaymath}
y''+(b(t)+5)y'+b(t)y=0
\end{displaymath}

имеет два решения$y_1(t)$,$y_2(t)$,удовлетворяющие условию $y_1(t)y_2(t)=1$.


next up previous
Next: About this document ...

2000-06-15