next up previous
Next: About this document ...

ЭКЗАМЕН В МАГИСТРАТУРУ 16.07.97

Вариант 1.1.


1.Вычислить производную$\frac{dy}{dx}$от параметрически заданной функции:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rl}
y &=
\left\{
\begin{array}{ll}
(t-2)^...
...ght.
\\ [12pt]
x &= t\exp(t), \quad 1 < t < 3.
\end{array}
\end{displaymath}


2.При каких значениях параметра$p$дифференцирование пространства вещественных многочленов степенине выше 2 в подходящей базе может иметь матрицу

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ccc}
p & 0 & 2p - p^3 \\
2p + 1 & 0 & 6 \\
-1 & 0 & p^2 - 2
\end{array}
\right)
?
\end{displaymath}

3.Пусть$P$-- поверхность второго порядка, заданная уравнением
$x^2 + 3y^2 - z^2 = -9$в некоторой прямоугольной системе координат.Из точки $M_0 = (0,0,\sqrt{3})$проводятся всевозможные прямые, касающиеся поверхности$P$в точках$M$.
а) Доказать, что все точки$M$лежат в одной плоскости.
б) Найти объем конуса, образованного отрезками$M_0M$.
Вариант 1.2.


4.Вычислить интеграл

$\mathop{\hspace{0.5em}{\displaystyle\int}\hspace{-0.4em}{\displaystyle\int}}\limits_S \left(z+2x+\frac{4y}{3}\right) ds,$
где$S$-- часть плоскости $\frac x2 + \frac y3 + \frac z4 = 1$,лежащая в первом октанте.
5.Найти приращение аргумента функции$f(z)$по кривой $\left\vert z - 1 - \frac i2 \right\vert = 1$,если$f(z)$аналитична на всей комплексной плоскости,за исключением точки$z=1$,где она имеет полюс второго порядка,$f(\infty)=1$,$f(2)=2$и $\mathop{\rm res}_1 f(z)=0$.
6.При каких непрерывных$f(t)$существуют решения краевой задачи

\begin{displaymath}
y'' + (2\pi)^2 y = f(t), \quad 0 < t < 1, \quad
y{\,\vrule...
...5pt}_{\,t=0} =
y{\,\vrule height6.5pt depth5pt}_{\,t=1} = 0?
\end{displaymath}

Выписать все решения.

Вариант 2.1.


1.Вычислить производную$\frac{dy}{dx}$от параметрически заданной функции:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rl}
y &=
\left\{
\begin{array}{ll}
(t-2)^...
...ight.
\\ [12pt]
x &= t\ln(t), \quad 1 < t < 3.
\end{array}
\end{displaymath}

2.При каких значениях параметра$p$дифференцирование пространства вещественных многочленов степенине выше 2 в подходящей базе может иметь матрицу

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ccc}
p^2 & 3p-2 & 0 \\
-p^2 & 2-3p & 0 \\
2 & p+1 & 0
\end{array}
\right)
?
\end{displaymath}

3.Пусть$P$-- поверхность второго порядка, заданная уравнением
$x^2 + 5y^2 + 2z^2 = 12$в некоторой прямоугольной системе координат.Из точки $M_0 = (3\sqrt{3},0,0)$проводятся всевозможные прямые, касающиеся поверхности$P$в точках$M$.
а) Доказать, что все точки$M$лежат в одной плоскости.
б) Найти объем конуса, образованного отрезками$M_0M$.
Вариант 2.2.


4.Вычислить интеграл $\mathop{\hspace{0.5em}{\displaystyle\int}\hspace{-0.4em}{\displaystyle\int}}\limits_S x\, ds$,где$S$-- часть сферы$x^2+y^2+z^2=1$,лежащая в первом октанте.
5.Найти приращение аргумента функции$f(z)$по кривой$\vert z+1\vert=1$,если$f(z)$аналитична на всей комплексной плоскости,за исключением точки$z=-1$,где она имеет полюс второго порядка,ограничена на$\infty$,$f(-2)=-1$, $f'(-2)=-\frac32$и$f(0)=3$.
6.При каких непрерывных$f(t)$существуют решения краевой задачи

\begin{displaymath}
y''+ \left(\frac\pi4\right)^2 y = f(t),\quad 0 < t < 2, \qu...
...h5pt}_{\,t=0} =
y'{\vrule height6.5pt depth5pt}_{\,t=2} = 0?
\end{displaymath}

Выписать все решения.

Вариант 3.1.


1.Вычислить производную$\frac{dy}{dx}$от параметрически заданной функции:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rl}
y &=
\left\{
\begin{array}{ll}
\left(...
...]
x &= t\mathop{\rm arctg}(t), \quad 0 < t < 1.
\end{array}
\end{displaymath}

2.При каких значениях параметра$p$дифференцирование пространства вещественных многочленов степенине выше 2 в подходящей базе может иметь матрицу

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ccc}
p^2 - 3 & 2p^2 & 6p - 2p^3 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & -2p
\end{array}
\right)
?
\end{displaymath}

3.Пусть$P$-- поверхность второго порядка, заданная уравнением
$x^2 - 3y^2 - 2z^2 = 8$в некоторой прямоугольной системе координат.Из точки $M_0 = (\sqrt{2},0,0)$проводятся всевозможные прямые, касающиеся поверхности$P$в точках$M$.
а) Доказать, что все точки$M$лежат в одной плоскости.
б) Найти объем конуса, образованного отрезками$M_0M$.
Вариант 3.2.


4.Вычислить интеграл $\mathop{\hspace{0.5em}{\displaystyle\int}\hspace{-0.4em}{\displaystyle\int}}\limits_S xyz\, ds$,где$S$ -- часть плоскости$x+y+z=1$,лежащая в первом октанте.
5.Найти приращение аргумента функции$f(z)$по кривой$\vert z+1\vert=2$,если$f(z)$аналитична на всей комплексной плоскости, за исключением точки$z=-1$,где она имеет полюс второго порядка,$f(\infty)=1$,$f(-2)=0$и $\mathop{\rm res}_{-1} f(z)=0$.
6.При каких непрерывных$f(t)$существуют решения краевой задачи

\begin{displaymath}
y'' + \left(\frac\pi3\right)^2y = f(t), \quad 0 < t < 3, \q...
...h5pt}_{\,t=0} =
y'{\vrule height6.5pt depth5pt}_{\,t=3} = 0?
\end{displaymath}

Выписать все решения.

Вариант 4.1.


1.Вычислить производную$\frac{dy}{dx}$от параметрически заданной функции:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rl}
y &=
\left\{
\begin{array}{ll}
\left(...
...
x &= t\mathop{\rm arcsin}(t), \quad 0 < t < 1.
\end{array}
\end{displaymath}

2.При каких значениях параметра$p$дифференцирование пространства вещественных многочленов степенине выше 2 в подходящей базе может иметь матрицу

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{ccc}
0 & -p & p \\
0 & -3p & 4p - p^3 \\
0 & 3 & p^2 - 4
\end{array}
\right)
?
\end{displaymath}

3.Пусть$P$-- поверхность второго порядка, заданная уравнением
$x^2 + 3y^2 = 2z$в некоторой прямоугольной системе координат.Из точки $M_0 = (0,0,-\frac32)$проводятся всевозможные прямые, касающиеся поверхности$P$в точках$M$.
а) Доказать, что все точки$M$лежат в одной плоскости.
б) Найти объем конуса, образованного отрезками$M_0M$.
Вариант 4.2.


4.Вычислить интеграл $\mathop{\hspace{0.5em}{\displaystyle\int}\hspace{-0.4em}{\displaystyle\int}}\limits_S z\, ds$,где$S$ -- полусфера $x^2+y^2+z^2=1$,$z \geq 0$.
5.Найти приращение аргумента функции$f(z)$по кривой$\vert z-3\vert=3$,если$f(z)$аналитична на всей комплексной плоскости,за исключением точки$z=2$,где она имеет полюс второго порядка,$f(\infty)=0$,$f(3)=3$и $\mathop{\rm res}_2 f(z)=2$.
6.При каких непрерывных$f(t)$существуют решения краевой задачи

\begin{displaymath}
y'' + \left(\frac\pi8\right)^2y = f(t), \quad 0 < t < 4, \q...
...5pt}_{\,t=0} =
y{\,\vrule height6.5pt depth5pt}_{\,t=4} = 0?
\end{displaymath}

Выписать все решения.


next up previous
Next: About this document ...

2000-06-15