next up previous
Next: About this document ...

ЭКЗАМЕН В МАГИСТРАТУРУ 19.07.96

ВАРИАНТ 1.1.


1.При каких$\alpha$последовательность

\begin{displaymath}
f_n(x) = \frac{n^\alpha x}{x^2 + n^2}
\end{displaymath}

сходится поточечно, а при каких равномерно на множестве $E = (0,\infty)$?
2.Найти жорданову базу пространства комплексных$2\times 2$-матриц относительно линейного оператора $\varphi : X\to \alpha AX + \beta XA$,где$\alpha=2$,$\beta=1$,

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{rr}
3 & -2 \\
2 & -1
\end{array}
\right)
.
\end{displaymath}

3.Плоскости$x=0$,$y=0$,$z=1$и $2x - y + 2z - 6 = 0$выделяют тетраэдр. Найти центр шара, вписанного в этот тетраэдр и его радиус.
ВАРИАНТ 1.2.


4.Найти объем тела, ограниченного поверхностями

\begin{displaymath}
\begin{array}{r@{\;}lr@{\;}l}
z &= x^2 + y^2, \quad & z &=...
...y &= 1, \quad xy = 2, &\quad x &= 2y,\quad 2x=y,
\end{array}
\end{displaymath}

$x>0$,$y>0$.
5.Конформно отобразить область $\{ z : \vert z-i\vert < 2 \}$на область $\{ w : \vert w-1\vert<1 \}$так, чтобы$w(0)=1$, $\mathop{\rm arg}w'(0) = \frac\pi2$.
6.Найти все решения системы

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
2y''_1 + 3y_1 - y_3 = \sin t\\
2y''_2 +...
...+ y_3 = \sin t\\
2y''_3 + y_1 + 5y_3 = -\sin t
\end{array}
\end{displaymath}



ВАРИАНТ 2.1.


1.При каких$\alpha$последовательность

\begin{displaymath}
f_n(x) = n^\alpha x e^{-x^2 n}
\end{displaymath}

сходится поточечно, а при каких равномерно на множестве $E = (0,\infty)$?
2.Найти жорданову базу пространства комплексных$2\times 2$-матриц относительно линейного оператора $\varphi : X\to \alpha AX + \beta XA$,где$\alpha=3$,$\beta=-1$,

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{rr}
-5 & 3 \\
-3 & 1
\end{array}
\right)
.
\end{displaymath}

3.Плоскости$x=2$,$y=0$,$z=0$и $3x + 6y - 2z - 12 = 0$выделяют тетраэдр. Найти центр шара, вписанного в этот тетраэдр и его радиус.
ВАРИАНТ 2.2.


4.Найти объем тела, ограниченного поверхностями

\begin{displaymath}
\sqrt{\vphantom{y} x\,} + \sqrt{ y\,} + \sqrt{\vphantom{y} z\,} = 1,\quad
x=0,\quad y=0,\quad z=0.
\end{displaymath}

5.Конформно отобразить область $\{ z : \mathop{\rm Im}z > \mathop{\rm Re}z \}$на область $\{ w : \vert w-2\vert<2 \}$так, чтобы$w(i)=2$, $\mathop{\rm arg}w'(i) = \pi$.
6.Найти все решения системы

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
2y''_1 - 5y_1 - y_3 = \cos t\\
2y''_2 +...
...+ y_3 = \cos t\\
2y''_3 + y_1 - 3y_3 = -\cos t
\end{array}
\end{displaymath}



ВАРИАНТ 3.1.


1.При каких$\alpha$последовательность

\begin{displaymath}
f_n(x) = n^\alpha \left( \sqrt{x+\frac1n\,} - \sqrt{\vphantom{\frac1n}x\,}
\right)
\end{displaymath}

сходится поточечно, а при каких равномерно на множестве $E = (0,\infty)$?
2.Найти жорданову базу пространства комплексных$2\times 2$-матриц относительно линейного оператора $\varphi : X\to \alpha AX + \beta XA$,где$\alpha=1$,$\beta=-2$,

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{rr}
4 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}
\right)
.
\end{displaymath}

3.Плоскости$x=-3$,$y=0$,$z=0$и $2x - y + 2z - 10 = 0$выделяют тетраэдр. Найти центр шара, вписанного в этот тетраэдр и его радиус.
ВАРИАНТ 3.2.


4.Найти объем тела, ограниченного поверхностью

\begin{displaymath}
(x^2 + y^2 + z^2)^3 = \frac{z^2}{x^2+y^2}.
\end{displaymath}

5.Конформно отобразить область $\{ z : \mathop{\rm Re}z > 0 \}$на область $\{ w : \vert w+i\vert<4 \}$так, чтобы$w(2)=-i$, $\mathop{\rm arg}w'(2) = -\frac\pi2$.
6.Найти все решения системы

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
2y''_1 + 5y_1 - y_3 = \sin2t\\
2y''_2 +...
...+ y_3 = \sin2t\\
2y''_3 + y_1 + 7y_3 = -\sin2t
\end{array}
\end{displaymath}



ВАРИАНТ 4.1.


1.При каких$\alpha$последовательность

\begin{displaymath}
f_n(x) = n^\alpha x(1-x)^n
\end{displaymath}

сходится поточечно, а при каких равномерно на множестве $E = (0,\infty)$?
2.Найти жорданову базу пространства комплексных$2\times 2$-матриц относительно линейного оператора $\varphi : X\to \alpha AX + \beta XA$,где$\alpha=2$,$\beta=-3$,

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{rr}
2 & 1 \\
-4 & 6
\end{array}
\right)
.
\end{displaymath}

3.Плоскости$x=0$,$y=-1$,$z=0$и $3x + 6y - 2z - 30 = 0$выделяют тетраэдр. Найти центр шара, вписанного в этот тетраэдр и его радиус.
ВАРИАНТ 4.2.


4.Найти объем тела, ограниченного поверхностями

\begin{displaymath}
z = x^2 + y^2,\quad z = 2 - \sqrt{x^2 + y^2}.
\end{displaymath}

5.Конформно отобразить область $\{ z : \vert z + i\vert < 4 \}$на область $\{ w : \vert w - 2i\vert<1 \}$так, чтобы$w(i)=2i$, $\mathop{\rm arg}w'(i) = \pi$.6.Найти все решения системы

\begin{displaymath}
\begin{array}{l}
2y''_1 - 7y_1 - y_3 = \cos2t\\
2y''_2 +...
...+ y_3 = \cos2t\\
2y''_3 + y_1 - 5y_3 = -\cos2t
\end{array}
\end{displaymath}




next up previous
Next: About this document ...

2000-06-15