next up previous
Next: About this document ...

ЭКЗАМЕН В МАГИСТРАТУРУ 22.08.95

ВАРИАНТ 1.1.


1.Исследовать функцию $f(x,y) = \vert y\vert\sin x$на дифференцируемость в точке$(0,0)$.
2.При каких значениях$x$жорданова форма матрицы

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & x+4 & 1 \\
0 & x^2-3 & x+2 \\
0 & 0 & x^2-3
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

является жордановой клеткой?
3.Найти уравнение поверхности второго порядка, у которой плоскости
$2x - y - 2z - 5 = 0$, $ x - 2y + 2z + 2 = 0$
являются плоскостями симметрии, плоскость $2x + 2y + z = 0$ортогональна асимптотическому направлению, и точки
$A(6,1,0)$,$B(3,-1,1)$,$C(4,-3,3)$
лежат на этой поверхности.
ВАРИАНТ 1.2.


4.Найти площадь части поверхности $x^2 + y^2 = 2x$,заключенной между конусом $z = \sqrt{x^2 + y^2}$и плоскостью$z = 0$.
5.Найти $\mathop{\rm res}\limits_{z=i\pi} f(e^z)$,если$f(\xi)$имеет в точке$\xi = -1$полюс первого порядка и $\mathop{\rm res}\limits_{\xi=-1} f(\xi) = 2$,
6.Для системы

\begin{displaymath}
\frac{dy}{dt} =
\left(
\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \\ 
...
...
\begin{array}{l}
0 \\
e^{it} \\
0
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

найти:
а) все решения;
б) все периодические решения;
в) все решения, ограниченные при$t\to -\infty$.

ВАРИАНТ 2.1.


1.Исследовать функцию $f(x,y) = \sqrt[3]{xy^2}$на дифференцируемость в точке$(0,0)$.
2.При каких значениях$x$жорданова форма матрицы

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
x-3 & x^2-7 & 0 \\
1 & x & x^2-7
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

является жордановой клеткой?
3.Найти уравнение поверхности второго порядка, у которой плоскости
$ x + y - z - 1 = 0$, $ x - 2y - z + 2 = 0$,$ x + z = 0$
являются плоскостями симметрии,а точки
$A(1+\frac{11}{5\sqrt6},\frac2{5\sqrt6},1-\frac{11}{5\sqrt6})$, $B(\frac{1+\sqrt3}{\sqrt6},\frac{-2+\sqrt6}{\sqrt6},\frac{-1+\sqrt3}{\sqrt6})$, $C(\frac{1+2\sqrt3}{\sqrt6},\frac{-2+\sqrt6}{\sqrt6},\frac{-1+2\sqrt3}{\sqrt6})$
лежат на этой поверхности.
ВАРИАНТ 2.2.


4.Найти площадь части конуса $z = \sqrt{x^2 + y^2}$,заключенной внутри поверхности $x^2 + y^2 = 2x$.
5.Найти $\mathop{\rm res}\limits_{z=\pi} f(\cos 4z)$,если$f(\xi)$имеет в точке$\xi = 1$полюс первого порядка и $\mathop{\rm res}\limits_{\xi=1} f(\xi) = 8$,
6.Для системы

\begin{displaymath}
\frac{dy}{dt} =
\left(
\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \\ 
...
...begin{array}{l}
0 \\
e^{-2it} \\
0
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

найти:
а) все решения;
б) все периодические решения;
в) все решения, ограниченные при$t\to -\infty$.

ВАРИАНТ 3.1.


1.Исследовать функцию $f(x,y) = \vert x\vert\ln(1+y)$на дифференцируемость в точке$(0,0)$.
2.При каких значениях$x$жорданова форма матрицы

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & x-2 & 1 \\
0 & x^2-1 & x-1 \\
0 & 0 & x^2-1
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

является жордановой клеткой?
3.Найти уравнение поверхности второго порядка, если плоскости

\begin{displaymath}
\begin{array}{rl}
&x(\sqrt3 - \sqrt2) + y\sqrt2 - z(\sqrt3...
...rt2 - z(\sqrt3 - \sqrt2) + (\sqrt3 + \sqrt2) = 0
\end{array}
\end{displaymath}

не имеют с ней ни вещественных, ни комплексных точек пересечения и точка$M(1,4,2)$отстоит от поверхности на расстоянии $\frac{\sqrt3}3$.
ВАРИАНТ 3.2.


4.Найти площадь части поверхности$x^2 + y^2 = 1$,отсеченной плоскостями$x \pm y = 0$($x>0$).
5.Найти $\mathop{\rm res}\limits_{z=2} f(z^2-4z+3)$,если$f(\xi)$имеет в точке$\xi = -1$полюс первого порядка и $\mathop{\rm res}\limits_{\xi=-1} f(\xi) = i$,
6.Для системы

\begin{displaymath}
\frac{dy}{dt} =
\left(
\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \\ 
...
...\begin{array}{l}
0 \\
e^{2it} \\
0
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

найти:
а) все решения;
б) все периодические решения;
в) все решения, ограниченные при$t\to -\infty$.

ВАРИАНТ 4.1.


1.Исследовать функцию $f(x,y) = \sqrt[3]{x^3 + y^3}$на дифференцируемость в точке$(0,0)$.
2.При каких значениях$x$жорданова форма матрицы

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 0 \\
x+1 & x^2-5 & 0 \\
1 & x+3 & x^2-5
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

является жордановой клеткой?
3.Найти уравнение поверхности второго порядка, у которой плоскости
$ x + z + 2 = 0$,$ x - y - z = 0$
являются плоскостями симметрии,и которая содержит точки
$A(0,4,-4)$,$B(-2,0,-2)$,$C(0,0,-2)$,$D(2,4,-4)$.
ВАРИАНТ 4.2.


4.Найти площадь части поверхности $2z = x^2 - y^2$,заключенной внутри цилиндра$x^2 + y^2 = 1$.
5.Найти $\mathop{\rm res}\limits_{z=1} f\bigl(z+\frac1z\bigr)$,если$f(\xi)$имеет в точке$\xi = 2$полюс первого порядка и $\mathop{\rm res}\limits_{\xi=2} f(\xi) = 8$,
6.Для системы

\begin{displaymath}
\frac{dy}{dt} =
\left(
\begin{array}{rrr}
0 & 0 & 1 \\ 
...
...\begin{array}{l}
0 \\
e^{-it} \\
0
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

найти:
а) все решения;
б) все периодические решения;
в) все решения, ограниченные при$t\to -\infty$.


next up previous
Next: About this document ...

2000-06-15